樂樂課堂高二數學導數(樂樂課堂數學高二曲線)

高二文科數學導數公式知識點歸納

導數在高中數學考試中常常會遇到，同學們學習導數內容的時候要記住相關的公式。下面我給大家帶來高二文科數學導數公式知識點，希望對你有幫助。

高二文科數學導數公式

1.①

②

③

2. 原函數與反函數導數關系(由三角函數導數推反三角函數的)：y=f(x)的反函數是x=g(y)，則有y'=1/x'.

3. 復合函數的導數：

復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數，乘以中間變量對自變量的導數--稱為鏈式法則。

4. 變現積分的求導法則：

(a(x),b(x)為子函數)

導數的計算

計算已知函數的導函數可以按照導數的定義運用變化比值的極限來計算。在實際計算中，大部分常見的解析函數都可以看作是一些簡單的函數的和、差、積、商或相互復合的結果。只要知道了這些簡單函數的導函數，那么根據導數的求導法則，就可以推算出較為復雜的函數的導函數。

高二文科數學導數的求導法則

求導法則

由基本函數的和、差、積、商或相互復合構成的函數的導函數則可以通過函數的求導法則來推導。基本的求導法則如下：

求導的線性性：對函數的線性組合求導，等于先對其中每個部分求導后再取線性組合。

兩個函數的乘積的導函數，一導乘二+一乘二導。

兩個函數的商的導函數也是一個分式。(子導乘母-子乘母導)除以母平方

復合函數的求導法則

如果有復合函數，那么若要求某個函數在某一點的導數，可以先運用以上 方法 求出這個函數的導函數，再看導函數在這一點的值。

高二文科數學高階求導

高階導數的求法

1.直接法：由高階導數的定義逐步求高階導數。

一般用來尋找解題方法。

2.高階導數的運算法則：

(二項式定理)

3.間接法：利用已知的高階導數公式，通過四則運算，變量代換等方法。

注意：代換后函數要便于求，盡量靠攏已知公式求出階導數。

求導方法

鏈導法

四則法

反導法

對數求導法

口訣

為了便于記憶，有人整理出了以下口訣：

常為零，冪降次

對倒數(e為底時直接倒數，a為底時乘以1/lna)

指不變(特別的，自然對數的指數函數完全不變，一般的指數函數須乘以lna)

正變余，余變正

切割方(切函數是相應割函數(切函數的倒數)的平方)

高二導數教案

導數（Derivative）是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f(x)的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'(x0)或df(x0)/dx。下面是我為您整理的關于高二導數教案的相關資料，歡迎閱讀！

高二導數教案 例1

教學準備

1. 教學目標

(1)理解平均變化率的概念.

(2)了解瞬時速度、瞬時變化率、的概念.

(3)理解導數的概念

(4)會求函數在某點的導數或瞬時變化率.

2. 教學重點/難點

教學重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念及導數概念的形成和理解

教學難點：會求簡單函數y=f(x)在x=x0處的導數

3. 教學用具

多媒體、板書

4. 標簽

教學過程

一、創設情景、引入課題

【師】十七世紀，在歐洲資本主義發展初期，由于工場的手工業向機器生產過渡，提高了生產力，促進了科學技術的快速發展，其中突出的成就就是數學研究中取得了豐碩的成果―――微積分的產生。

【板演/PPT】

【師】人們發現在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t(單位：秒)存在函數關系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?

【板演/PPT】

讓學生自由發言，教師不急于下結論，而是繼續引導學生：欲知結論怎樣，讓我們一起來觀察、研探。

【設計意圖】自然進入課題內容。

二、新知探究

[1]變化率問題

【合作探究】

探究1 氣球膨脹率

【師】很多人都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述這種現象呢?

氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數關系是

如果將半徑r表示為體積V的函數,那么

【板演/PPT】

【活動】

【分析】

當V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為(1)當V從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為

0.620.16

可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了.

【思考】當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?

解析：

探究2 高臺跳水

【師】在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t(單位：秒)存在函數關系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?

(請計算)

【板演/PPT】

【生】學生舉手回答

【活動】學生覺得問題有價值，具有挑戰性，迫切想知道解決問題的方法。

【師】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10

【設計意圖】兩個問題由易到難，讓學生一步一個臺階。為引入變化率的概念以及加深對變化率概念的理解服務。

探究3 計算運動員在

這段時間里的平均速度,并思考下面的問題:

(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?

(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎?

【板演/PPT】

【生】學生舉手回答

【師】在高臺跳水運動中,平均速度不能準確反映他在這段時間里運動狀態.

【活動】師生共同歸納出結論

平均變化率:

上述兩個問題中的函數關系用y=f(x)表示，那么問題中的變化率可用式子

我們把這個式子稱為函數y=f(x)從x1到x2的平均變化率.

習慣上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)

這里Δx看作是對于x1的一個“增量”可用x1+Δx代替x2

同樣Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均變化率可以表示為：

【幾何意義】觀察函數f(x)的圖象，平均變化率的幾何意義是什么?

探究2 當Δt趨近于0時,平均速度有什么變化趨勢?

從2s到(2+△t)s這段時間內平均速度

當△ t 趨近于0時, 即無論 t 從小于2的一邊, 還是從大于2的一邊趨近于2時, 平均速度都趨近與一個確定的值 –13.1.

從物理的角度看, 時間間隔 |△t |無限變小時, 平均速度就無限趨近于 t = 2時的瞬時速度. 因此, 運動員在 t = 2 時的瞬時速度是 –13.1 m/s.

為了表述方便，我們用xx表示“當t =2, △t趨近于0時, 平均速度 趨近于確定值– 13.1”.

【瞬時速度】

我們用

表示 “當t=2, Δt趨近于0時,平均速度趨于確定值-13.1”.

局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。那么,運動員在某一時刻 的瞬時速度?

【設計意圖】讓學生體會由平均速度到瞬時速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t=2秒時的瞬時速度。

探究3:

(1).運動員在某一時刻 t0 的瞬時速度怎樣表示?

(2).函數f(x)在 x = x0處的瞬時變化率怎樣表示?

導數的概念:

一般地，函數 y = f (x)在 x = x0 處的瞬時變化率是

稱為函數 y = f(x) 在 x = x0 處的導數, 記作

或,

【總結提升】

由導數的定義可知, 求函數 y = f (x)的導數的一般方法:

[3]例題講解

例題1 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品, 需要對原油進行冷卻和加熱. 如果第 x h時, 原油的溫度(單位: )為 y=f (x) = x2–7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 計算第2h與第6h時, 原油溫度的瞬時變化率, 并說明它們的意義.

解: 在第2h和第6h時, 原油溫度的瞬時變化率就是

在第2h和第6h時, 原油溫度的瞬時變化率分別為–3和5. 它說明在第2h附近, 原油溫度大約以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油溫度大約以5 /h的速率上升.

高二導數教案 例2

【學習要求】

1.能根據定義求函數y=c，y=x，y=x2，y=1x的導數.

2.能利用給出的基本初等函數的導數公式求簡單函數的導數.

【學法指導】

1.利用導數的定義推導簡單函數的導數公 式，類推 一般多項式函數的導數公式，體會由特殊到一般的思想.通過定義求導數的過程，培 養歸納、探求規律的能力，提高學習興趣.

2.本節公式是下面幾節課的`基礎，記準公式是學好本章內容的關鍵.記公式時，要注意觀察公式之間的聯系，如公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例.公式5與公式7中ln a的位置的不同等.

1.幾個常用函數的導數

原函數 導函數

f(x)=c f ′(x)=

f(x)=x f′(x)=

f(x)=x2 f′(x)=

f(x)=1x

f′(x)=

f(x)=x

f′(x)=

2.基本初等函數的導數公式

原函數 導函數

f(x)=c f′(x)=

f(x)=xα(α∈Q*) f′(x)=

f(x)=sin x f′(x)=

f(x)=cos x f′(x)=

f(x)=ax f′(x)= (a0)

f(x)=ex f′ (x)=

f(x)=logax

f′(x)= (a0且a≠1)

f(x)=ln x f′(x)=

探究點一 幾個常用函數的導數

問題1 怎樣 利用定義求函數y=f(x)的導數?

問題2 利用 定義求下列常用函數的導數：(1)y=c (2)y=x (3)y=x2 (4)y=1x (5)y=x

問題3 導數的幾何意義是曲線在某點處的切線的斜率.物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度.(1)函數y =f(x)=c(常數)的導數的物理意義是什么?

(2)函數y=f(x)=x的導數的物理意義呢?

問題4 畫出函數y=1x的圖象.根據圖象，描述它的變化情況，并求出曲線在點(1,1)處的切線方程.

探究點二 基本初等函數的導數公式

問題1 利用導數的定義可以求函數的導函數，但運算比較繁雜，有些函數式子在中學階段無法變形，怎樣解決這個問題?

問題2 你能發現8個基本初等函數的導數公式之間的聯系嗎?

例1 求下列函數的導數：(1)y=sinπ3;(2)y=5x;(3)y=1x3;(4)y=4x3; (5)y =log3x.

跟蹤1 求下列函數的導數：(1)y=x8;(2)y=(12)x;(3)y=xx;(4)y=

例2 判斷下列計算是否正確.

求y=cos x在x=π3處的導數，過程如下：y′| = ′=-sin π3=-32.

跟蹤2 求函數f(x)=13x在x=1處的導數.

探究點三 導數公式的綜合應用

例3 已知直線x-2y-4=0與拋物線 y2=x相交于A、B兩點，O是坐標原點，試在拋物線的弧 上求一點P，使△ABP的面積最大.

跟蹤3 點P是曲線y=ex上任意一點，求點P到直線y=x的最小距離.

【達標檢測】

1.給出下列結論：①若y=1x3，則y′=-3x4;②若y=3x，則y′=133x;

③若y=1x2，則y′=-2x-3;④若f(x)=3x，則f′(1)=3.其中正確的個數是 ( ?)

A.1 B.2 C.3 D.4

2.函數f(x)=x，則f′(3)等于 ( ?)

A.36 B.0 C.12x D.32

3.設正弦曲線y=sin x上一點P，以點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是 ( ?)

A.[0，π4]∪[3π4，π) B.[0，π) C.[π4，3π4] D.[0，π4]∪[π2，3π4]

4.曲線y=ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為________.

高二數學 導數的簡單 幾種形式推導

導數定義：

?'(x) = lim(Δx→0) [?(x + Δx) - ?(x)]/Δx

則?'(x?) = lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x?)]/Δx，其中Δx可以是負數，或者一個式子，總之要趨向0

對于①：

lim(Δx→0) [?(x?) - ?(x? - 2Δx)]/(2Δx)

= lim(Δx→0) - [?(x? - 2Δx) - ?(x?)]/(2Δx)

= lim(Δx→0) [?(x? - 2Δx) - ?(x?)]/(- 2Δx)，若令Δu = - 2Δx

= lim(Δu→0) [?(x? + Δu) - ?(x?)]/Δu

= ?'(x?)

對于②：

lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x? - Δx)]/Δx

= lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x?) - ?(x? - Δx) + ?(x?)]/Δx

= lim(Δx→0) {[?(x? + Δx) - ?(x?)] - [?(x? - Δx) - ?(x?)]}/Δx

= lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x?)]/Δx - lim(Δx→0) [?(x? - Δx) - ?(x?)]/Δx

= lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x?)]/Δx + lim(- Δx→0) [?(x? - Δx) - ?(x?)]/(- Δx)

= ?'(x?) + ?'(x?)

= 2?'(x?)

對于③：

lim(Δx→0) [?(x? + 2Δx) - ?(x? + Δx)]/Δx

= lim(Δx→0) [?(x? + 2Δx) - ?(x?) - ?(x? + Δx) + ?(x?)]/Δx

= lim(Δx→0) {[?(x? + 2Δx) - ?(x?)] - [?(x? + Δx) - ?(x?)]}/Δx

= lim(Δx→0) [?(x? + 2Δx) - ?(x?)]/Δx - lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x?)]/Δx

= 2lim(Δx→0) [?(x? + 2Δx) - ?(x?)]/(2Δx) - lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x?)]/Δx

= 2?'(x?) - ?'(x?)

= ?'(x?)

對于④：

lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x? - 2Δx)]/Δx

= lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x?) - ?(x? - 2Δx) + ?(x?)]/Δx

= lim(Δx→0) {[?(x? + Δx) - ?(x?)] - [?(x? - 2Δx) - ?(x?)]}/Δx

= lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x?)]/Δx - lim(Δx→0) [?(x? - 2Δx) - ?(x?)]/(- 2Δx) ? (- 2)

= ?'(x?) + 2?'(x?)

= 3?'(x?)

只有①③正確。